Perhitungan-perhitungan kapal pada umumnya didasarkan atas bidang-bidang lengkung yang dapat dijumpai pada bentuk-bentuk garis air, bentuk-bentuk bidang gading, dan lain-lain seperti pada contoh gambar 4.1.
Untuk menghitung luas, volume maupun momen, biasanya dipakai integral suatu fungsi. Bentuk garis lengkung di kapal (badan kapal) sulit diketahui fungsinya atau tidak bisa difungsikan secara ilmu pasti, maka dari itu digunakan metode integrasi numerik (rumus pendekatan) untuk menghitung luas maupun volume bidang lengkung di kapal.
Rumus pendekatan (metode integrasi numerik) yang banyak dipakai adalah :
1. Cara / aturan Trapesium
2. Cara / aturan Simpson :
- Simpson I (rumus 3 ordinat)
- Simpson II (rumus 4 ordinat) dan
- Simpson III (rumus 5,8 minus 1).
2. CARA / ATURAN TRAPESIUM
Gambar 4.2. Bidang lengkung (cara Trapesium)
Bidang lengkung di atas akan dicari luasannya dengan metode perhitungan luas Trapesium. Dimana ordinat dari bidang lengkung tersebut adalah yo, y1, y2, y3 dan y4 dan jarak antar ordinat adalah h (sama). Bidang lengkung tersebut kemudian dibagi menjadi 4 bidang yaitu bidang I, II, III dan IV sehingga bidang-bidang tersebut masing-masing dapat dianggap sebagai sebuah bidang Trapesium., dimana :
Luas bidang Trapesium = (panjang rata-rata sisi yang tidak sama) x (panjang alas)
Dengan menggunakan rumus luas Trapesium tersebut dapat dihitung luas bidang I, II, III dan IV.
Untuk bidang I :
Panjang rata-rata sisi yang tidak sama = (y0 + y1) / 2
Panjang alas = jarak ordinat = h
Sehingga luas bidang I = (y0 + y1) / 2 x h atau
= ½ h . (y0 + y1)
Dengan cara yang sama didapat :
Luas bidang II = ½ h . (y1 + y2)
Luas bidang III = ½ h . (y2 + y3)
Luas bidang IV = ½ h . (y3 +y4)
Jadi luas bidang lengkung di atas (A) = luas bidang (I + II + III + IV)
A = ½ h . (y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + y4)
Ord. bidang I II III IV
Sehingga : A = ½ h . (1.y0 + 2.y1 + 2.y2 + 2.y3 + 1.y4)
Dari contoh di atas, bidang lengkung dengan jumlah ordinat dari y0 sampai yn dapat dirumuskan luasnya sebagai berikut :
A = ½ h . (1.y0 + 2.y1 + 2.y2 + ………+ 2.yn-1 + 1.yn)
Jika jumlah ordinat disederhanakan, didapat : A = ½ h . Σ dimana :
Σ = (1.y0 + 2.y1 + 2.y2 + …. + 2.yn-1 + 1.yn)
Untuk memudahkan perhitungan dapat juga dibuat perhitungan dalam bentuk tabel :
No. Ordinat | Panjang ordinat (y) | Faktor trapesium (Ft) | y . Ft |
0 | y0 | 1 | 1.y0 |
1 | y1 | 2 | 2.y1 |
2 | y2 | 2 | 2.y2 |
: : | : : | : : | : : |
n-1 | yn-1 | 2 | 2.yn-1 |
n | yn | 1 | 1.yn |
Σ y. Ft | |||
Dengan tabel ini dan cara Trapesium, secara umum luasan bidang lengkung dengan ordinat dari y0 sampai yn dapat dihitung : A = ½ h . Σ y. Ft
Perlu diingat, untuk cara Trapesium :
- Angka pengali : ½
- Jarak ordinat : h
- Faktor Trapesium : 1, 2, 2,……., 2, 2, 1
- Jarak ordinat kelipatan : 1 (satu)
Latihan soal :
Sebuah bidang lengkung dengan ordinat seperti tabel dibawah. Jarak antara ordinat-ordinatnya adalah 2,2 m. Dengan cara Trapesium, tentukan luas bidang lengkung tsb !
No.Ordinat | Panjang Ordinat, y (m) |
0 | 2,0 |
1 | 2,5 |
2 | 3,5 |
3 | 4,0 |
4 | 2,6 |
5 | 1,0 |
3. CARA / ATURAN SIMPSON I
Menghitung luas bidang lengkung dengan aturan Simpson I adalah rumus luas untuk 3 (tiga) ordinat yaitu : y0, y1 dan y2 atau jika jumlah ordinat lebih banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk menghitung luas bidang lengkung pada setiap jarak ordinat (h) kelipatan 2.
Untuk menghitung atau mendapatkan rumus luas bidang lengkung dengan metode aturan Simpson I, dapat dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu :
Cara I :
Gambar 4.3.a. Bidang lengkung (aturan Simpson I - Cara I)
Seperti terlihat pada gambar 4.3, misalkan persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y = a0 + a1.x + a2.x². Dengan integrasi, luas bidang lengkung di atas (A) dapat dihitung sebagai berikut :
• Persamaan garis : y = a0 + a1.x + a2.x² ……….. [I]
• Luas semua : A = 0∫2h dA = 0∫2h ydx = 0∫2h (a0 + a1.x + a2.x²)dx
A = 0∫2h (a0.dx) + 0∫2h (a1.x.dx) + 0∫2h (a2.x²dx)
A = a0.x + ½ a1.x² + 1/3a2.x³ = a0.2h + ½ a1.(2h)² + 1/3a2.(2h)³
A = 2a0.h + 2a1.h² + 8/3a2.h³………. [II]
Misalkan : A = B.y0 + C.y1 + D.y2 ………. [III]
Dari persamaan [I]:
Bila : x = 0 maka : y0 = a0 + a1.0 + a2.0 = a0
x = h maka : y1 = a0 + a1.h + a2.h²
x = 2h maka : y2 = a0 + 2a1.h + 4a2.h²
Masukkan y0, y1 dan y2 di atas ke persamaan [III], didapat :
A = B(a0) + C(a0 + a1.h + a2.h²) + D(a0 + 2a1.h + 4a2.h²)
= (B.a0 + C.a0 + D.a0) + (C.a1.h + 2D.a1.h) + (C.a2.h² + D.4a2.h²
= (B + C + D)a0 + (C + 2D)a1.h + (C + 4D)a2.h² ………. [IV]
Dari persamaan [II] : A = 2h. a0 + 2h.a1.h + 8/3h. a2.h²
dan [IV], didapat :
( B + C + D ) = 2 h …….(1)
( C + 2D ) = 2 h …….(2)
( C + 4D ) = 8/3 h … .(3)
Dari (3) – (2) didapat : (C+ 4D – C – 2D) = 8/3 h – 2h
2D = 2/3 h, D = 1/3 h
Dari (2) : (C + 2/3h) = 2 h, C = 2h – 2/3h = 4/3 h
Dari (1) : (B + 4/3 h + 1/3 h) = 2 h, B = 2h – 5/3 h = 1/3 h
Jadi didapat : B = D = 1/3 h dan C = 4/3 h
Dimasukkan ke persamaan [III], didapat :
A = 1/3 h.y0 + 4/3 h.y1 + 1/3 h.y2
A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2 ) |
Cara II :
 |
Luas bidang lengkung semua (ABCDHF) = Luas Trapesium ACDF + luas tembereng parabola DEFH
Luas Trapesium ACDF = ½ (y0 + y2) x 2h = h (y0 + y2)………..( 1 )
Luas tembereng DEFH = 2/3 luas jajaran genjang DFGI
= 2/3 (DI x AC) = 2/3 DI . 2h
= 2/3 EH . 2h = 4/3 h (BH – BE)
= 4/3 h [y1 – ½ (y0 + y2)]
= 4/3 h (y1 – ½ y0 – ½ y2)………………………(2)
Dari (1) dan (2) :
Luas keseluruhan bidang lengkung = h (y0 + y2) + 4/3 h (y1 – ½ y0 – ½ y2)
= 1/3 h (3y0 + 3 y2) + 1/3 h (4y1 – 2y0 – 2y2)
= 1/3 h (3y0 + 3y2 + 4y1 – 2y0 – 2y2)
A = 1/3 h (1.y0 + 4.y1 + 1.y2) |
Jadi harus diingat, untuk aturan Simpson I :
- Angka pengali : 1/3
- Faktor Simpson I : 1, 4, 1
- Jarak ordinat kelipatan : 2
Penggunaan aturan Simpson I
Menghitung luas bidang lengkung untuk jarak ordinat kelipatan 2, seperti pada contoh gambar di bawah ini. Jarak ordinat kelipatan 2 dimana ada 6 jarak ordinat h.
Gambar 4.4. Jarak ordinat kelipatan 2 (aturan Simpson I)
Luas ABCD = 1/3 h (y0 + 4y1 + y2)
Luas BEFC = 1/3 h ( y2 + 4y3 + y4)
Luas EGHF = 1/3 h ( y4 + 4y5 + y6) +
Luas semua (AGHD) = 1/3 h (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6)
= 1/3 h . Σ è Σ = (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6)
Untuk memudahkan, perhitungan dapat dibuat dalam bentuk tabel :
No.Ordinat | Panjang Ordinat (y) | Faktor Simpson I (s) | y . s |
0 | y0 | 1 = 1 | y0 |
1 | y1 | 4 = 4 | 4y1 |
2 | y2 | 1 + 1 = 2 | 2y2 |
3 | y3 | 4 = 4 | 4y3 |
4 | y4 | 1 + 1 = 2 | 2y4 |
5 | y5 | 4 = 4 | 4y5 |
6 | y6 | 1 = 1 | y6 |
∑ y. s | |||
Jadi luas semua (A) = 1/3 h . ∑ y. s
Latihan soal :
Diketahui sebuah bidang lengkung dengan panjang ordinat sebagai berikut :
No.ordinat | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Pjg ord. y (m) | 0,5 | 1,1 | 2,0 | 2,5 | 3,2 | 4,0 | 4,8 | 5,0 | 4,7 | 3,2 | 2,0 | 1,6 | 0 |
Jika diketahui jarak antar ordinat 3 m, hitunglah luas bidang lengkung tersebut dengan cara / aturan : Trapesium dan Simpson I !
4. CARA / ATURAN SIMPSON II
Rumus pendekatan luas bidang lengkung dengan aturan Simpson II adalah rumus luas untuk 4 (empat) ordinat yaitu : y0, y1, y2 dan y3 atau jika jumlah ordinat lebih banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk menghitung luas bidang lengkung pada setiap jarak ordinat (h) kelipatan 3.
Gambar 4.5. Bidang lengkung (aturan Simpson II)
Berikut ini uraian untuk mendapatkan rumus pendekatan menghitung luas bidang lengkung dengan aturan Simpson II. Seperti terlihat pada gambar 4.6, persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y = a0 + a1.x + a2.x² + a3.x³. Dengan integrasi, dapat diuraikan sebagai berikut :
• Persamaan garis : y = a0 + a1.x + a2.x² + a3.x³ …………………………………..[I]
• Luas semua : A = 0∫3h dA = 0∫3h ydx = 0∫3h (a0 + a1.x + a2.x² + a3.x³)dx
= a0.x +1/2 a1.x² + 1/3 a2.x³ + ¼ a3.x4
= 3 a0.h +4 1/2 a1.h² + 9 a2.h³ + 81/4 a3.h4 ……………….[II]
• Dimisalkan Luas A = A.y0 +B.y1 +C.y2 +D.y3 ……………………………...[III]
• Bila harga x diganti 0, h, 2h dan 3h, dan harganya disebut y0, y1, y2 dan y3 maka dari [I] didapat :
y0 = a0
y1 = a0 + a1.h + a2.h² + a3.h³
y2 = a0 + 2a1.h + 4a2.h² + 8a3.h³
y3 = a0 + 3a1.h + 9a2.h² + 27a3.h³
• Masukkan ke persamaan [III], diperoleh :
A = A.a0 + B(a0 + a1.h + a2.h² + a3.h³) + C(a0 + 2a1.h + 4a2.h² + 8a3.h³) +
D(a0 + 3a1.h + 9a2.h² + 27a3.h³)
A = (A + B + C + D) a0 + (B + 2C + 3D)a1.h + (B + 4C + 9D)a2.h² +
(B + 8C +27D)a3.h³…………………………………………………… [IV]
• Dari persamaan [II] dan [IV], diperoleh :
( A + B + C + D ) = 3 h ………1)
( B + 2C + 3D ) = 4½ h ………2)
( B + 4C + 9D ) = 9 h ……. ….3)
( B + 8C + 27D ) = 20¼ h ……4)
1), 2), 3) dan 4) diselesaikan, diperoleh :
A = 3/8 h , B = 9/8 h , C = 9/8 h , D = 3/8 h
Dimasukkan ke persamaan [III], diperoleh :
A = 3/8 h.y0 +9/8 h.y1 +9/8 h.y2 +3/8 h.y3
A = 3/8 h ( 1.y0 + 3.y2 + 3.y3 + 1.y4 ) |
Perhatikan, untuk aturan Simpson II :
- Angka pengali : 3/8
- Faktor Simpson II : 1, 3, 3, 1
- Jarak ordinat kelipatan : 3
Penggunaan aturan Simpson II
Menghitung luas bidang lengkung untuk jarak ordinat kelipatan 3, seperti pada contoh gambar di bawah ini.
 |
Gambar 4.6. Jarak ordinat kelipatan 3 (Simpson II)
Luas ABCD = 3/8 h (y0 + 3y1 + 3y2 + y3)
Luas BEFC = 3/8 h ( y3 + 3y4 + 3y5 + y6) +
Luas semua (AEFD) = 3/8 h (y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + y6)
= 3/8 h . Σ è Σ = (y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + y6
Untuk memudahkan, perhitungan dapat dibuat dalam bentuk tabel :
Untuk memudahkan, perhitungan dapat dibuat dalam bentuk tabel :
No.Ordinat | Panjang Ordinat (y) | Faktor Simpson II (s) | y . s |
0 | y0 | 1 = 1 | y0 |
1 | y1 | 3 = 3 | 3y1 |
2 | y2 | 3 = 3 | 3y2 |
3 | y3 | 1 + 1 = 2 | 2y3 |
4 | y4 | 3 = 3 | 3y4 |
5 | y5 | 3 = 3 | 3y5 |
6 | y6 | 1 = 1 | y6 |
∑ y. s | |||
Jadi luas semua (A) = 3/8 h . ∑ y. s
Latihan soal :
Diketahui sebuah bidang lengkung dengan panjang ordinat sebagai berikut :
No.ordinat | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Pjg ord. y (m) | 0,5 | 1,1 | 2,0 | 2,5 | 3,2 | 4,0 | 4,8 | 5,0 | 4,7 | 3,2 | 2,0 | 1,6 | 0 |
Jika diketahui jarak antar ordinat 3 m, hitunglah luas bidang lengkung tersebut dengan cara / aturan Simpson II dan gabungan antara aturan Simpson I dan II !
5. CARA / ATURAN SIMPSON III (5,8 MINUS 1)
Gambar 4.7. Bidang lengkung (aturan Simpson III)
Untuk aturan Simpson III, luas bidang lengkung seperti pada gambar 4.7, yang dihitung adalah luas bagian I (ABCD) atau luas bagian II (BEFC). Seperti terlihat pada gambar 4.7, persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y = a0 + a1.x + a2.x². Dengan integrasi, luas bidang lengkung I (ABCD) dapat dihitung sebagai berikut :
• Persamaan garis : y = a0 +a1.x +a2.x² …………………………………………... [I]
• Luas ABCD = 0∫h dA = 0∫h ydx = 0∫h (a0 +a1.x + a2.x²)dx
= a0.x + ½ a1.x² + 1/3 a2.x³ = a0.h + ½ a1.h² + 1/3 a2.h³ …...…… [II]
• Dimisalkan : A = A.y0 + B.y1 + C.y2 ……………………………………….… [III]
• Bila persamaan [I], harga x diganti 0, h dan 2h dan harganya disebut y0, y1 dan y2
maka diperoleh : y0 = a0
y1 = a0 + a1.h + a2.h²
y2 = a0 + 2a1.h + 4a2.h²
• Dimasukan ke persamaan [III], diperoleh :
A = A.a0 + B(a0 + a1.h + a2.h²) + C(a0 + 2a1.h + 4a2.h²)
A = (A + B + C)a0 + (B + 2C)a1.h + (B + 4C)a2.h² …………………………… [IV]
• Dari persamaan [II] dan [IV], diperoleh :
( A + B + C ) = h……….1)
( B + 2C ) = ½ h…….2)
( B + 4C ) = 1/3 h…...3)
1), 2) dan 3) diselesaikan, diperoleh : A = 5/12 h, B = 8/12 h, C = -1/12 h
• Dimasukan ke persamaan [III], diperoleh :
Luas ABCD = 5/12 h y0 + 8/12 h y1 – 1/12 h y2
Luas bidang I (ABCD) = 1/12 h ( 5.y0 + 8.y1 – 1.y2 )
Dengan cara yang sama didapat :
Luas bidang II (BEFC) = 1/12 h ( 5.y2 + 8.y1 – 1.y0 )
Perhatikan, untuk aturan Simpson III :
- Perhitungan luas adalah bagian I (ABCD) atau bagian II (BEFC)
- Angka pengali : 1/12
- Faktor Simpson III : 5, 8, -1
- Jarak ordinat kelipatan : 2
Jarak Ordinat Kelipatan 2 + 1
Menghitung luas bidang lengkung dengan jarak ordinat kelipatan 2 + 1. Luasan semua dapat dihitung dengan cara gabungan Simpson I (luas ABCD) & Simpson III (luas EADF)
Menghitung luas bidang lengkung dengan jarak ordinat kelipatan 2 + 1. Luasan semua dapat dihitung dengan cara gabungan Simpson I (luas ABCD) & Simpson III (luas EADF)
Gambar 4.8. Jarak ordinat kelipatan 2 + 1
Untuk menghitung luas ABCD (area seperti diarsir pada gambar : yaitu mulai pada ord. y1, y2, y3, y4 dan y5) digunakan cara Simpson I
Luas ABCD = 1/3 h (y1 + 4y2 + 2y3 + 4y4 +y5) atau
= 1/12 h (4y1 + 16y2 + 8y3 + 16y4 + 4y5)
Untuk menghitung luas EADF (seperti diarsir pada gambar) dapat digunakan cara Simpson III :
Luas EADF = 1/12 h (5y0 + 8y1 – y2)
Jadi untuk luas semua EBCF (A) dapat dihitung :
A = luas ABCD + luas EADF = 1/12 h (5y0 + 12y1 + 15y2 + 8y3 + 16y4 + 4y5)
Perhatikan : Simpson III hanya dapat digabung dengan Simpson I
Luas semua dapat juga dihitung dengan tabel seperti berikut ini : dimana luas semua adalah luas EBCF (A) = 1/12 h . Σ è Σ = (5y0 + 12y1 + 15y2 + 8y3 + 16y4 + 4y5)
No.Ordinat | Panjang ordinat (y) | Faktor Simpson Gabungan (s) | y.s |
0 | y0 | 5 | 5y0 |
1 | y1 | 12 | 12y1 |
2 | y2 | 15 | 15y2 |
3 | y3 | 8 | 8y3 |
4 | y4 | 16 | 16y4 |
5 | y5 | 4 | 4y5 |
A = 1/12 h . Σ y.s | Σ y.s | ||
6. ORDINAT ANTARA
(Simpson I dengan pembagian sub-ordinat)
(Simpson I dengan pembagian sub-ordinat)
 |
Gambar 4.9. Ordinat antara (pembagian sub-ordinat)
Luas BEFC = 1/3 h (y1 + 4.y2 + y3)
Luas ABCD = 1/3 (1/2h) (y0 + 4.y1/2 + y1)
= 1/3 h (1/2.yo + 2.y1/2 + ½.y1)
Luas EGHF = 1/3 (1/4h) (y3 + 4y3 ¼ + 2y3 ½ + 4y3 ¾ + y4)
= 1/3 h (1/4y3 + y3 ¼ + ½ y3 ½ + y3 ¾ + ¼ y4)
Luas semua (AGHD) = 1/3 h (1/2 y0 + 2y1/2 + 1 ½ y1 + 4y2 + 1 ¼y3 + y3 ¼ +
½ y3 ½ + y3 ¾ + ¼ y4)
= 1/3 h.Σ è Σ = (1/2 y0 + 2y1/2 + 1 ½ y1 + 4y2 + 1 ¼y3 +
y3¼ + ½ y3 ½ + y3 ¾ + ¼ y4)
Untuk kemudahan, rumusan ini dapat ditabelkan seperti tabel berikut ini :
No.Ordinat | Panjang ordinat (y) | Faktor Simpson I (s) | y.s |
0 | y0 | ½ | ½ y0 |
½ | y½ | 2 | 2 y½ |
1 | y1 | 1 ½ | 1 ½ y1 |
2 | y2 | 4 | 4 y2 |
3 | y3 | 1 ¼ | 1 ¼ y3 |
3 ¼ | y3 ¼ | 1 | y3 ¼ |
3 ½ | y3 ½ | ½ | ½ y3 ½ |
3 ¾ | y3 ¾ | 1 | y3 ¾ |
4 | y4 | ¼ | ¼ y4 |
Σ y . s | |||
A = 1/3 h . Σ y . s | |||
7. LETAK TITIK BERAT MEMANJANG
(terhadap salah satu ordinat tertentu)
Contoh : pada jarak ordinat kelipatan 2 dengan 4 jarak ordinat
(terhadap salah satu ordinat tertentu)
Contoh : pada jarak ordinat kelipatan 2 dengan 4 jarak ordinat
Gambar 4.10. Letak titik berat
Untuk menghitung letak titik berat memanjang bidang lengkung di atas :
- Letak titik berat dihitung terhadap midship (ordinat 2)
- Jarak lengan (n) sesuai panjang h untuk tiap ordinat terhadap midship (¤)
- Kesepakatan jarak lengan (n) : sebelah kanan midship (ordinat 2) bertanda (+) sedangkan sebelah kiri midship (ordinat 2) bertanda (-)
Letak titik berat dapat dihitung dengan tabel berikut ini :
No. Ord. | Ordinat (y) | Faktor Simpson I (s) | y.s | Jarak lengan (n) | Momen (y.s.n) |
0 | y0 | 1 | y0 | -2 | -2y0 |
1 | y1 | 4 | 4y1 | -1 | -4y1 |
2 | y2 | 2 | 2y2 | 0 | 0 |
3 | y3 | 4 | 4y3 | 1 | 4y3 |
4 | y4 | 1 | y4 | 2 | 2y4 |
∑ y. s | ± ∑y.s.n | ||||
Luas bidang lengkung (A) = 1/3 h . Σ y. s | |||||
Letak titik berat terhadap midship (ordinat 2) = h . (± Σ y.s.n / Σ y.s) | |||||
(Terhadap ordinat tertentu)
Gambar 4.11. Letak titik berat ordinat antara
Dengan cara yang sama seperti contoh di atas, letak titik berat memanjang bidang diatas dapat dihitung dengan tabel berikut :
No.Ord. | Pjg Ordinat (y) | Faktor Simpson I (s) | y.s | Jarak Lengan (n) | y.s.n |
0 | y0 | ½ | ½ y0 | -2 | -y0 |
½ | y½ | 2 | 2 y½ | -1 ½ | -3y½ |
1 | y1 | 1 ½ | 1 ½ y1 | -1 | -1 ½ y1 |
2 | y2 | 4 | 4 y2 | 0 | 0 |
3 | y3 | 1 ¼ | 1 ¼ y3 | 1 | 1 ¼ y3 |
3 ¼ | y3 ¼ | 1 | y3 ¼ | 1 ¼ | 1 ¼ y3 ¼ |
3 ½ | y3 ½ | ½ | ½ y3 ½ | 1 ½ | ¾ y3 ½ |
3 ¾ | y3 ¾ | 1 | y3 ¾ | 1 ¾ | 1 ¾ y3 ¾ |
4 | y4 | ¼ | ¼ y4 | 2 | ½ y4 |
∑ y.s | ± ∑y.s.n | ||||
Luas bidang lengkung (A) = 1/3 h . Σ y.s | |||||
Letak titik berat terhadap midship (ordinat 2) = h . (± Σ y.s.n / Σ y.s) | |||||
Contoh soal :
Sebuah kapal mempunyai setengah bidang garis air seperti pada gambar. Diketahui panjang Lpp = 60 m, panjang Lwl = Lpp + 4% Lpp. Lebar kapal B = 14 m. Dari hasil pengukuran diketahui : y-2 = 0 m, y-1 = 2 m, y0 = 3 m, y1 = 5m, y2 = 6 m, y3 = y4 = y5 = y6 = 7 m, y7 = 6 m, y8 = 4 m, y8½ = 3 m, y9 = 2 m, y9 ½ = 1 m, y10 = 0 m
Hitung luas bidang garis air dan letak titik berat memanjang bidang terhadap ordinat 5. Gunakan tabel untuk perhitungan !
Sebuah kapal mempunyai setengah bidang garis air seperti pada gambar. Diketahui panjang Lpp = 60 m, panjang Lwl = Lpp + 4% Lpp. Lebar kapal B = 14 m. Dari hasil pengukuran diketahui : y-2 = 0 m, y-1 = 2 m, y0 = 3 m, y1 = 5m, y2 = 6 m, y3 = y4 = y5 = y6 = 7 m, y7 = 6 m, y8 = 4 m, y8½ = 3 m, y9 = 2 m, y9 ½ = 1 m, y10 = 0 m
Hitung luas bidang garis air dan letak titik berat memanjang bidang terhadap ordinat 5. Gunakan tabel untuk perhitungan !
 |
Jawab :
Lwl = Lpp + 4% Lpp (60 + 2,4) = 62,4 m
h = 60 / 10 = 6 m, h’ = ½ . 2,4 = 1,2 m
berarti : h’ = 1,2/60 h = 0,2 h dan h” = ½ h
Berikut dibuat tabel dimana faktor simpson I untuk harga h’ dan h” disesuaikan terhadap h :
No. Ord. | Panjang y (m) | Faktor Simpson (s) | y.s | Lengan (n) | y.s.n |
-2 | 0 | 0,2 | 0 | -5,4 | 0 |
-1 | 2 | 0,8 | 1,6 | -5,2 | -8,32 |
0 | 3 | 1,2 | 3,6 | -5 | -18 |
1 | 5 | 4 | 20 | -4 | -80 |
2 | 6 | 2 | 12 | -3 | -36 |
3 | 7 | 4 | 28 | -2 | -56 |
4 | 7 | 2 | 14 | -1 | -14 |
5 | 7 | 4 | 28 | 0 | 0 |
6 | 7 | 2 | 14 | 1 | 14 |
7 | 6 | 4 | 24 | 2 | 48 |
8 | 4 | 1,5 | 6 | 3 | 18 |
8 ½ | 3 | 2 | 6 | 3,5 | 21 |
9 | 2 | 1 | 2 | 4 | 8 |
9 ½ | 1 | 2 | 2 | 4,5 | 9 |
10 | 0 | 0,5 | 0 | 5 | 0 |
Σ y .s = 161,2 | Σ y .s .n = -94,32 | ||||
Luas bidang garis air 2 x luas ½ bidang : Aw = 2 x 1/3 h . Σ y .s
= 2 x 1/3 x 6 x 161,2 = 644,8 m²
Letak titik berat memanjang terhadap ordinat 5 (LCF) :
LCF = h . (Σ y .s .n / Σ y .s) = 6 . (-94,32 / 161,2) = - 3,51 m (sebelah kiri ordinat 5)
Titik berat bidang garis air dinamakan Titik Apung (Centre of Floatation).
LCF : Longitudinal Centre of Floatation = jarak CF terhadap midship.
8. MENGHITUNG VOLUME DISPLACEMENT
Gambar 4.12. Menghitung volume displacement
Cara menghitung sebagai berikut :
- Berdasarkan panjang Lpp, digunakan luas station-station.
- Bagian kapal sepanjang Lpp dinamakan Main Part sedangkan bagian dibelakang AP dinamakan Cant Part.
- Sepanjang Lpp dibagi dengan station sesuai jarak ordinat pada aturan Simpson (h).
- Dicari luas penampang tiap station ( misalkan A0, A1, A2, A3 dan A4 ).
- Bagian cant part dibagi dua, dengan jarak ordinat h’ misal = xh, dicari luas penampang A-2=0 , A-1 dan A0 (= A0 main part ).
- Dihitung volume kapal seluruh, main part dan cant part, dengan aturan Simpson mengunakan satu tabel. Harga x pada jarak ordinat h’ dimasukkan pada factor Simpson.
Cara mencari luas penampang station :
Station -1 : A-1 = 2 x 1/3 h-1. Σ Y.s
Station 0 : A0 = 2 x 1/3 h0. Σ Y.s
Station 1 : A1 = 2 x 1/3 h1. Σ Y.s
Station 2 : A2 = 2 x 1/3 h2. Σ Y.s
Station 3 : A3 = 2 x 1/3 h3. Σ Y.s
Tabel perhitungan volume displacement & letak titik tekan memanjang LCB
No. Station | Luas station (A) | Faktor Simpson (s) | A.s | Lengan dari St.2 (n) | Momen statis (A.s.n) |
-2 | A-2 | 1x | A-2. 1x | -(2+2x) | -A-2.1x(2+2x) |
-1 | A-1 | 4x | A-1. 4x | -(2 + x) | -A-1. 4x(2+x) |
0 | A0 | 1x + 1 | A0. (1x +1) | -2 | -A0. (1x +1).2 |
1 | A1 | 4 | A1. 4 | -1 | -A1. 4 . 1 |
2 | A2 | 2 | A2. 2 | 0 | 0 |
3 | A3 | 4 | A3. 4 | 1 | A3. 4 . 1 |
4 | A4 | 1 | A4. 1 | 2 | A4. 1 . 2 |
Σ A.s | ± Σ A.s.n | ||||
Volume displacement (V) = 1/3 h . Σ A.s (m³) | |||||
Letak titik tekan memanjang terhadap st.2 (LCB) LCB = h . (± Σ A.s.n / Σ A.s) (m) | |||||
Note : LCB (+) berarti sebelah kanan st.2 dan (–) sebelah kiri st.2 | |||||
thank you for some of these web articles is very impressive and qualified to compete pusat alat bantu sex
ReplyDeleteKeren, simple, mudah di mengerti. Thanks
ReplyDelete